Появилось предположение: а не откроется что-нибудь из анализа – при каких свойствах чисел-оснований в (1.1) оно выходит в одних случаях целочисленным, а в других – нет, при n=2. Очевидно, эти свойства проявляются и при n>2, не найдется ли тут «ключа» для всей теоремы?

Я нашел все случаи целочисленности (1.1) при n=2 для всевозможных сочетаний целых  a и b (здесь, в отличие от предыдущего, используется символика более распространенного выражения (1.1)) в пределах от amin=1, bmin=2 (принято a<b) до .

Получилось: a, b, c могут быть все четные, могут быть два нечетных и один четный; при наличии общих делителей после сокращения всегда остаются два нечета и один чет. Что все a, b, c не могут быть нечетами ясно было и до расчета, но что показалось удивительным, так это то, что при двух нечетах и одном чете один нечет обязательно с, а вторым a или b – случая а – нечет, b – нечет с – чет нет ни одного! В этом я увидел «зацепку» - что-то от искомого «ключа».

Стал разбираться. Для уменьшения количества неизвестных наложим дополнительную связь на соотношение нечетных a и b: ⇒ b = a + x. Тогда из (1.1)

                                   (1.4)

Так как a – нечет, x – разность нечетов является четом, то в скобках (1.4) – нечетное число . Тогда

                                             (1.5)

всегда будет нецелым числом при нечетных a и b, даже если  – целое число.

А как может быть при четном n>2? Возможны два способа. Любую четную степень в (1.1) можно всегда свести к сумме квадратов, что уже доказано.

Более общим является повторение предыдущего для каждого n. Возьмем n=4. По (1.1)

=

=

Так появился (вначале как подспорье – «экстраполяция» приема по n=2) бином Ньютона.  Коэффициент k1в биноме всегда равен n, поэтому он делится на 2. Получается, в принципе, то же самое, что и по n=2: в скобках нечет, а формула (1.5) получает вид