Следовательно, графики  всех нечетных n не имеют точек перегиба, что означает: графики имеют только один экстремум (минимум) с параболическим видом двух «ветвей», уходящих в положительную бесконечность.

Следовательно, опять же, графики  для всех n пересекаются с ординатной линией D по уравнениям (4.2.12) только в двух точках, из чего выводится: все уравнения (4.2.12) имеют только два действительных корня, все остальные – мнимые!

Естественно, конечно, было попытаться найти точные аналитические решения хотя бы некоторых уравнений (4.2.12) для n>3. Известно, что в общем случае для n>3 нет точных решений уравнений n-ой степени, за исключением некоторых частных случаев с n=4. Дальше - только приближенные решения.

Но для открытого (полагаю это так) класса уравнений четной m=n-1 степени, основанных на биноме Ньютона, оказалось возможным расширить зону точных решений. Решены уравнения четвертой (от n=5) и шестой (от n=7) степеней.

Это удалось получить с использованием формул, связывающих значения всех корней с коэффициентами уравнений. Для m=4 и m=6 выходит система разрешимых уравнений, сводящихся к конечному (квадратное для m=4 и кубическое для m=6). В основной работе приведены подробные решения этой задачи (обширные). Здесь дается только результат.

Для m=4 (n=5) действительные корни определяются формулой

,                                  (4.2.15)

где D соответствует (4.2.13).

Для корней  также есть формула, в которой вторая часть аналога (4.2.15) содержит  – они мнимые.

Корни (4.2.15) проверены сравнением с полученными ранее приближенными решениями и обычной подстановкой в исходное уравнение (должен быть ноль). Везде сошлось.

Для m=6 (n=7) все оказалось намного сложнее, но решение было получено. Одной формулой выразить затруднительно (очень длинно), проще получить результат проходом несколько-звенного алгоритма (не приводится). Корни двучленные, действительных два, четыре мнимые. Проверка по аналогии с n=5 дала положительный итог.

Итак, двучленность корней, наличие среди них только двух действительных всесторонне доказана.