содержит в себе  по n=7 плюс .

Несомненно, что  по n=11 будет содержать в себе  по n=9 и т.д. Это закономерность. Разумеется – все последующие по возрастанию порядка производные для всех n будут содержать в себе младшие производные по предшествующим n (проверено по всем n от 5 до 9).

Удивительные свойства у бинома Ньютона. Но что это дает для решения задачи о двух корнях? Дает.

Если у второй производной некоторой функции нет нулевых точек (не пересекает ось абсцисс, нет действительных корней), то функция не имеет точек перегиба и имеет только один экстремум.

Вторая производная по n=5 представляет «увеличенную» функцию  по n=3 и имеет такой же вид графика – парабола с минимумом при . Найдем его значение у  по n=5 подстановкой . Достаточно вычислить только «скобку»

.

Все аналогично по другим n

n=7

.

n=9

.

Закономерность ясна: такой же расчет по n=11 должен дать , для n=13  и т.д. Общую формулу таких результатов для любого нечетного n можно выразить так

,                          (4.2.14)

где V – некоторое положительное целое число (оно связано со значениями коэффициентов бинома и не является существенным). Вывод из (4.2.14) таков.

Наименьшее значение  для любого нечетного n всегда положительно. Следовательно, вторая производная не может иметь нулевых значений, у нее нет действительных корней, а могут быть только мнимые (как уже было получено на примере с n=5, где оказалось возможным решение уравнения ).