Но все ли корни (мнимые, в частности) имеют такой вид? Если для n=3 их как раз два (m=2), то для n=5 их уже четыре, а для n=7 шесть и т.д.

Для уравнений вида (4.2.7) () имеются формулы, определяющие все его коэффициенты через алгебраические выражения (суммы, произведения) всех n корней уравнения. Наиболее просто выражается коэффициент  – он (с минусом) равен сумме всех корней.

В уравнении четной степени (m=n-1 – четное число) количество корней – четное число. Если все корни (без исключения) имеют вид (4.2.11), то они распределяются на m/2 парных сочетаний, и при суммировании вторые члены () будут взаимно уничтожаться, а реально суммируются только первые члены (z/2).

Тогда для n=3 (m=2) должно быть , для n=5 , для n=7  (для n=9 -4z, для n=11 -5z и т.д.). Сравнение с  по (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6) показывает полное совпадение. Нет сомнений, что это справедливо для всех остальных n – нечет.

Двучленность корней вида (4.2.11) для всех уравнений n-1 степени полностью доказана.

Теперь нужно «разобраться» с разделением m корней на действительные и мнимые. Представим уравнения типа (4.2.4) и др. в виде функции

,                               (4.2.12)

где  – многочлен, содержащий степени c, а D – свободный член уравнений. В общем случае

1. ,     2. .                 (4.2.13)

Первое для случая – в z нет n, второе – в z есть n.

Действительным корням уравнения  соответствуют точки пересечения графика  с ординатной линией, имеющей высоту – ординату, равную D. Таким образом, корни уравнений (4.2.12) зависят от геометрических свойств графика  (вид кривой, ее экстремумы, перегибы).

Рассмотрим уже представленные функции  для n=3, 5, 7

для n=3

;    ;    .

График функции  – типичная парабола с вертикальной осью симметрии по  ( в данном случае) с единственным экстремумом  при том же .

для n=5

;      ;