Принимаем  – целое число, а c - искомое. Нужно доказать невозможность целочисленности корней уравнения четной n-1 степени.

Общее выражение уравнения n-й степени для любого n имеет вид , которое упрощается приведением к виду

,                  (4.2.7)

коэффициенты которого соответствуют делению всех коэффициентов исходного уравнения на его  (в (4.2.7) он равен «1», а остальные уменьшены).

Уравнения (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6) соответствуют виду (4.2.7). Коэффициенты  при переменной c представляют собой произведения числовых коэффициентов на степени z, свободному члену  соответствуют выражения со скобкой с противоположным знаком. Нужно выявить особенности корней таких уравнений.

Известно, что их общее количество (действительные, мнимые, кратные) равно степени n уравнения (4.2.7) (m=n-1 в данном случае). Обозначим свободный член всех уравнений как  и рассмотрим самое простое уравнение (4.2.4) для n=3. Имеем

.                                       (4.2.8)

Решение:

.                                       (4.2.9)

Подстановка двух выражений D (4.2.4) дает

    и    .              (4.2.10)

Было предположено: а не повторится ли двучленность сопряженных корней типа (4.2.9) с известным первым членом и для других n, в частности для n=5 и n=7.

Предположено, что корни уравнений для всех n – нечет имеют вид

,                                   (4.2.11)

где , , , .

Чтобы проверить возможность такой двучленности и для n>3 было проделано несколько расчетов по уравнениям (4.2.5) и (4.2.6) приближенными методами решения (наиболее подходит метод касательных). Корни определялись до «устойчивости» не менее пяти знаков после запятой. В качестве первых приближений нужно брать  и . Получив корни  и , находим по (4.2.11) два . Подтверждением должно явиться равенство обоих . Расчеты по n=5 и n=7 дали такой результат. Возможность двучленности подтверждена.