z и 3z являются кубами, входящими в . Обозначим  и  как , где  – нечетное число. С учетом этого (4.2.3) можно представить в виде стандартных алгебраических уравнений

              (4.2.4)

Аналогичные уравнения можно получить для всех нечетных n (простое число). Методика получения биноминальных выражений для всех n одинакова. В общем случае в преобразованное (1.1) к виду  ( – четное число) подставляется  (из ), что дает .  раскрывается биномом Ньютона. Первый член бинома () взаимно уничтожается с первым членом уравнения и остается бином без первого члена и с противоположными знаками. Все члены сокращенного бинома содержат z с разными степенями, начиная с «1», что позволяет вынести его за скобку – бином и выполнить аналогичное с n=3 преобразования.

Так для n=5 и n=7 получено

для n=5

.

При отсутствии «5» в z конечное уравнение

При наличии «5» в z                                                                     (4.2.5)

для n=7

.

При отсутствии «7» в z конечное уравнение

При наличии «7» в z                                                                     (4.2.6)

Таким образом, любой нечетной степени n соответствует уравнение четной n-1 степени по переменнойc. Теорема Ферма будет доказана, если будет доказана невозможность целочисленных решений уравнений представленного вида. Достаточно быть нецелой одной из трех величин в таких уравнениях. Величина z уже была представлена степенью n целого числа.