Насчет «обладания» можно кое-что сказать, но об этом позже, а сейчас об «элементарности». Что относят к элементарным методам? Только алгебру и геометрию или и весь аппарат традиционной так называемой «высшей математики» (дифференциалы, интегралы, пределы, ряды и др.). Похоже – все вместе. В моей работе такие элементы применяются и предлагается развитие.

Итак, ранее было доказано, что исходное уравнение (1.1) всегда можно привести к виду: четно-численный член (1.1) равен произведению двух взаимно простых сомножителей – четного и нечетного. Показано, что достаточно ограничиться случаем – четным членом является одно из двух слагаемых в левой части (1.1). Вид разложения представлен формулами (4.1.3). Нужно доказать, что три составляющих этих выражений не могут совместно быть степенями целых чисел.

Четный сомножитель, как показано в предыдущем, может всегда являться такой степенью, второй сомножитель и их произведение – под вопросом. Задача внешне схожа с рассмотренной в «примере 3» раздела 2: там один сомножитель и их произведение – квадраты, второй сомножитель – под вопросом (нужно доказать, что он тоже квадрат).

Доказательство (пример взят из постороннего источника – книги [4]) осуществлено методом спуска. Приняв исходно явно абсурдное предположение (квадрат не считать квадратом) это исходно целочисленное в степенях соотношение успешно спускается. «Доказательство» получено.

Любопытно, что такой прием подошел бы и к «нашей» задаче, и без абсурдных предположений. Обозначим z и nz в (4.1.3) как Nч (четное число), а «бином» как Nн (нечетное). Тогда (4.1.3) получит вид

,                                            (4.2.1)

где Nч – степень n, Nн и  – целые числа, но неизвестно (на самом деле) являются ли они степенями целых.

Степень Nч должна входить и в . Выполнив сокращение (4.2.1), получим

.                                        (4.2.2)

Нужно доказать, что  и  не являются степенями целых чисел. В полном соответствии с правилами метода спуска предполагаем, что являются. Пусть в  (4.2.2) есть сомножитель , но тогда он есть и в , сокращаем

,     ,     ,      и т.д.

Получен «стандартный» процесс спуска: соотношение «уменьшается», оставаясь целочисленной степенью (ad infinitum). Можно закончить также