По тройке «3» , , .

Приведенные числовые примеры подтверждают справедливость всех предшествующих теоретических положений.

В «доказательстве 2» по n=4 было показано, что у двух троек «2» и «3» (2.8) может быть суммарно только два целочисленных параметра. Если они по одному у двух троек, то обе тройки не могут быть пифагоровыми. А если предположить, что эти два целых параметра принадлежат какой-нибудь одной из двух троек, то каковы будут параметры второй тройки и какова она будет сама?

Из полученного ранее выражения  и значений  следует , откуда выходит

,                                    (3.8)

где  – квадрат целого при целочисленности одной из пар параметров. А вторая пара? – она же тоже, выходит, должна быть квадратом целого. Да, конечно, но только в произведении нецелых параметров.

Произведение нецелых сомножителей, дающих квадрат целого - рядовой случай (например, 6/5‧15/2=9=32, 15/7‧35/3=25=52 и т.п.). Докажем нецелочисленность в одной из пар (3.8) при целочисленности другой.

Возьмем, например, для «стандартной» тройки «3» (2.8) целые параметры a2, b2 и обратимся к формулам (3.7).  в любой из них представляет произведение трех сомножителей: квадратов двух параметров по одному для каждой тройки «2» и «3» и сомножителя – дробь. Из трех сомножителей один ( или , как принято) – квадрат целого, но при  – тоже квадрат целого два других (квадрат второго параметра и дробь) также должны давать квадрат. Но при (как уже было доказано) дробь – неквадрат этот второй сомножитель ( или ) не может быть квадратом целого – он квадрат нецелого числа.

Все аналогично, если разменять целые параметры между тройками «2» и «3» - будут нецелыми параметры a2, b2.

Для наглядности, как это получается в данном случае, приводится числовой пример.

Возьмем произвольно для тройки «3» a2=5, b2=2.

Получаем: , , .

Все составляющие тройки «3» (2.8) целочисленны, она – пифагорова тройка. Параметры тройки «2» (2.8) можно найти по одинаковым для обоих