Четный член пифагоровой тройки q обязательно содержит в себе 22, а в q2, следовательно, не менее 24. Тогда q2 можно представить как , где u – тоже четное число.

Из четырех, суммарно, выражений для y и z (3.2) можно составить четыре различных сочетания вида (3.3). Возьмем, например, y «2» и z «4».

   =>   ,

из чего выводим

.                                                  (3.4)

   =>   ,

из чего выводим

.                                                  (3.5)

Из уравнения – равенства правых частей (3.4) и (3.5), решив его относительно , получим вид главного выражения доказательства

.                     (3.6)

Это выражение замечательно тем, что содержит в себе дробный сомножитель, сводящийся к дважды дробному. Можно доказать, что такой сомножитель не может быть квадратом целого числа.

Дробь может быть квадратом целого при условиях

1. Числитель больше знаменателя и оба они являются квадратами целого, причем знаменатель входит в сомножители числителя; 2. Числитель и знаменатель являются целыми и не являются квадратами, но их отношение дает квадрат. Это возможно, если числитель содержит сомножитель – квадрат, а второй сомножитель равен знаменателю (например, 12/3=4=22, 45/5=9=32 и т.п.)

Предположив b1/b2 – целое число, получаем для первого условия состояние: сумма квадрата с единицей и разность того же квадрата с единицей должны быть квадратами и в частном давать квадрат. Это невозможно уже потому, что сумма и разность квадрата любого целого числа с единицей не может, как известно, быть квадратом. Остается второе условие: неквадрат на неквадрат равно квадрат. Но и этого здесь не может быть, поскольку при превышении числителя над знаменателем всего на две единицы только (1+2)/1=3 и (2+2)/2=2 являются целыми числами, а для всевозможных других чисел выходят нецелые ((3+2)/3=5/3, (4+2)/4=3/2 и т.д.).\

Итак, величина  (3.6), получившая выражение через три сомножителя, два из которых – квадраты целых чисел, а третий (дробь) не является квадратом целого, также не является квадратом целого числа (u– нецелое