не может быть целочисленным квадратом. Здесь p и q – члены двух начальных пифагоровых троек «2» и «3» в (2.8) (p – нечет, q - чет). Как было установлено, нечеты начальных троек не могут иметь четных степеней. Поэтому в (3.1) 2q еще может быть квадратом, если q имеет «2» в нечетной степени и нечет в четной, но p не может быть квадратом (p и q – взаимно простые).

Вывод: произведение 2pq не может быть квадратом целого числа. Теорема Ферма для n=4 доказана.

На этом можно было бы завершить доказательство теоремы по n=4, но второй вариант («длинный») ценен еще и тем, что помимо доказательства по n=4 он позволил получить некоторые результаты, имеющие общий характер за пределами n=4.

Доказательство 2.

Можно показать невозможность полного выполнения в целых и выражений «2» и «3» в (2.8).

В [4] «разрабатывается» только одна тройка – «2», здесь «разрабатываются» совместно обе. Обратимся к параметрам троек «2» и «3». В [4] они обозначены как a и b (для тройки «2»). Здесь нужны параметры обоих троек. Обозначим параметры тройки «2»как a1, b1, а для тройки «3» как a2, b2. Предполагаем параметры с обычными свойствами (каждая пара из взаимно простых противоположной четности с возможностью взаиморазмена). Параметры a1, b1 и a2, b2 взаимосвязаны, но не являются взаимно простыми между собой (помимо «2» могут иметь и другие общие делители).

Будем считать a1>b1, a2>b2. Для троек «2» и «3» (2.8) можно составить , из чего следует a2>a1, а из  тогда выходит b1>b2, что позволяет составить «цепочку» соотношений параметров: a2>a1>b1>b2.

По числовым значениям любой тройки можно всегда определить ее параметры: квадрат большего параметра равен полусумме двух ее нечетов, а квадрат меньшего – их полуразности. Тогда для тройки «2» , , а для тройки «3» , .

Из совместности «2» и «3» также следует z>p>y. Выразим z и y через p, используя выражения для полусумм и полуразностей

,     ,    ,            .   (3.2)

Из выражений «2» и «3» (2.8) выводится

,               .                         (3.3)