Доказательство довольно «извилистое» и, кроме того, с опечатками, которые надо было «распознавать».

По принципу «метода» - допускается противоположность тому, что требуется доказать, принимается: да, можно найти такое vилиw, которое не будет квадратом (принимается: w – квадрат, v - неквадрат). Предполагается такое простое число p, которое делит v ( v/p=k, тогда можно выразить ). Так как p должно входить и в правую часть (2.4), то должно выполняться u=pm и (2.4) получает вид pkw=(pm)2=p2m2. Сократив на p, получаем kw=pm2. Так как p «должно делить» и левую часть, а w оно не делит (pвходит в v), то p «делит» k, что сводится к соотношению . Подставив его в предшествующее выражение и сократив на p, имеем , что повторяет исходное (2.4) с уменьшением v (на ) и u2 (на m2<u2). Из выражения  делается вывод о том, что  не может быть квадратом, т.к. тогда надо считать квадратом и v, что противоречит принятым вначале условиям. Таким образом, новая пара  имеет те же свойства, что и пара vw, чем и подтверждается полное соответствие правилам метода спуска (соотношение сохраняет свои свойства при уменьшении своих целочисленных составляющих). Повторив с «уменьшенным» соотношением  те же действия, можно получить очередное «уменьшенное» соотношение с  и т.д. (). Дается заключение, что по правилам метода спуска достигнута цель доказательства – нельзя найти такие v, w, удовлетворяющие (2.4) в целых числах, чтобы одно из них было неквадратом, т.е. v – квадрат.

Анализ доказательства. Обращает на себя внимание какая-то «лишняя волокита» (чтоб «запутать» что ли?) с сомножителями p: зачем их сокращение разделено на два приема (поочередно – «раз» на p и «два» на p). Если p содержится «слева» (в v) и «справа» (в u2) формулы (2.4), а «справа» p может быть только в квадрате, то и «слева» оно также должно быть в квадрате. Тогда можно было сразу записать полученные через «волокиту» выражения , u2=p2m2 и .

Итак, осуществляется спуск сомножителя v (2.4), который принят неквадратом (а, следовательно, и с его корнем – нецелым числом, хотя фактически он квадрат, т.е. «белое» названо «черным») и на каждом шаге спуска продолжает считаться таковым.

Что же происходит фактически в процессе спуска? Далее, для удобства, будем писать  (вместо v),  (вместо ),  (вместо ) и т.д.; сомножитель p соответственно p0, p1, p2, …, величину m как m0, m1, m2, … .