Пример 4

Взят из книги [4] глава «1.5. Случай n=4». Это не что иное, как «историческое» доказательство теоремы Ферма для n=4. Наличие такого доказательства позволяет ограничиться рассмотрением только нечетных n для полного доказательства теоремы.

Рассмотрим приведенное в [4] доказательство для n=4. Доказывается, что уравнение

                                             (2.6)

невозможно при всех целочисленных основаниях степеней. Доказательство состоит в следующем (в трактовке автора).

Равенство (2.6) можно представить в виде

,                             (2.7)

что «внешне» соответствует пифагоровой тройке, состоящей из квадратов (x, y, z– взаимно простые положительные числа, z– нечет, x, y – один чет, другой нечет). Предполагается x – чет, y – нечет. Тогда по формулам получения пифагоровых троек можно записать

,            (2.8)

где p, q – параметры тройки (взаимно простые числа противоположной четности, ). Дальнейшие действия, в основном, увязаны с выражениями «1» и «2» в (2.8).

Из «2» выводится

,                                           (2.9)

откуда следует p – нечет, q – чет.

Так как выражение (2.9) тоже выходит пифагоровой тройкой, то ее составляющие по аналогии с (2.8) могут быть выражены через новые параметры – a и b (аналогично с p и q в (2.8)) с аналогичными свойствами

,    ,                          (2.10)

Теперь выражения p и q из (2.10) подставляются в «1» (2.8)

.                       (2.11)

Учитывая, что a и b взаимно просты дается вывод о том, что ab и  также должны быть квадратами, а, следовательно, a и b – также квадраты.

Принимается , , следовательно,  - квадраты. Так как  тоже можно считать квадратом (очевидно из , прим. автора), то новую пару  можно считать аналогом . Дается итоговая цепь соотношений

,